CONTOH SOAL MATEMATIKA INFORMATIKA KELOMPOK 1

SOAL RELASI REKURSI

KELOMPOK 1

ANGGOTA :

56417324	YUDHA ROMADHON
51417452	DANIEL RAYSA PUTRA
50417047	ACHMAD ALVYAN HAQ
51417210	BHASKARA YUDHISTIRA HOETO
54417505	NIKO AZI SAPUTRA
52417710	HAWARI ALIANSYAH
55417318	RIZKI YANSYAH MUHIDIN
55417547	SATRIO ADI PINANDITO
53417942	MUHAMMAD ERLANGGA ARAFAT
52417498	GEADALFA GIYANDA
52417767	HILMI FAUZAN

Matematika Informatika 4

Universitas Gunadarma

2019

SOAL

1. Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.

Ditanya : Hitunglah c5 !

Jawaban : C5 = 94

Pembahasan :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

• c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
• c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
• c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
• c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c5 = 94

2. Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 , b1 = 3 adalah…

Jawaban : bn(h) = 1/6(-2)n + 1/3. (1)n      

Pembahasan :

bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0

= a2 + a- 2 = 0

= (a+ 2) (a- 1) = 0

a1 = -2     a2 = 1.

Solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n       =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n

Dengan kondisi batas b0= 2 dan b1= 3 ,maka:

• b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2) =>  0  = -4 A1 + 2 A2
• b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3) =>  1 =  -6 A1 +  3A2
• -4 A1 + 2 A2 = 0       x  3       -12A1 +  6 A2  =  0
• -6 A1 + 3A2 =  1       x 2        -12A1 +  6 A2  =  2    +

6A2 = 2

A2 = 1/3

-4A1 + 2A2 = 0

-4A1 + 2(1/3) = 0; A1 = 1/6

Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6 dan A2 =1/3.

Jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah

bn(h) =  1/6(-2)n + 1/3. (1)n

3. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 0

Jawaban : a_n^(h) = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  , a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen :                        a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah             a²  +  4 a  + 4 = 0

(a+ 2) (a + 2) = 0

Akar-akar karakteristik   a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2, Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:

                                      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

4. Tentukan solusi homogen dari :
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
Jawaban : 1(4)^n + 3(-2)^n

Pembahasan :

Kita ubah dulu bn menjadi α maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2

Proses eliminasi:
4    =  A1   +   A2  | x2 |    8   =  2A1 + 2A2
-2  =  4A1 – 2A2   | x1 |   -2   =  4A1 – 2A2
—————- +
6   =  6A1
A1  =  1
A2  =  3  sehingga
an  =  A1a1^n + A2a2^n
=  1(4)^n + 3(-2)^n

5. 3an – 5an-1 + 2an-2 = n²+ 5
Diketahui : a₃ = 3 , a₄ = 3
Tentukan : a₅ = ?

Jawaban : 54

Pembahasan :

C0 = 3
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n² + 5

6. Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !
Jawaban : an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .

7. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
Jawaban : bn(h) = (-3)n + .2n

Pembahasan :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n

8. Tentukan relasi rekursif a_n – 3a_n-2 – a_n-3  =  0 untuk n ≥ 3 dengan a₀  = 1, a₁ = 2 dan a₂ = 4 !

Jawaban : a_n = 1(1)ⁿ + n1ⁿ + n² 1ⁿ

Pembahasan :

9. A_n = 3a_n-1 + 5a_n-2

Tentukan a₂, jika a₀ = 2 dan a₁ = 1

Pembahasan :

10. Diketahui barisan relasi rekursi a₀ = 2, a₁ = 4, a₂ = 5 Tentukan nilai a_3, a_4, dan a₅!

Pembahasan :

Share this:

ABOUTME

Hi all. Thankz For coming. I'm trying the best for this blog and you’ve to comment. What can I say, we are the best..