SOAL RELASI REKURSI
KELOMPOK 1
ANGGOTA :
56417324
|
YUDHA ROMADHON
|
51417452
|
DANIEL RAYSA PUTRA
|
50417047
|
ACHMAD ALVYAN HAQ
|
51417210
|
BHASKARA YUDHISTIRA HOETO
|
54417505
|
NIKO AZI SAPUTRA
|
52417710
|
HAWARI ALIANSYAH
|
55417318
|
RIZKI YANSYAH MUHIDIN
|
55417547
|
SATRIO ADI PINANDITO
|
53417942
|
MUHAMMAD ERLANGGA ARAFAT
|
52417498
|
GEADALFA GIYANDA
|
52417767
|
HILMI FAUZAN
|
|
|
Matematika Informatika 4
Universitas Gunadarma
2019
SOAL
1. Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara
rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck
= (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.
Ditanya : Hitunglah c5 !
Jawaban : C5 = 94
Pembahasan :
Oleh karena barisan didefinisikan
secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus
terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
- c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
- c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
- c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
- c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
2. Solusi homogen dari relasi
rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 , b1 = 3 adalah…
Jawaban : bn(h) = 1/6(-2)n + 1/3.
(1)n
Pembahasan :
bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0
= a2 + a- 2 = 0
= (a+ 2) (a- 1) = 0
a1 = -2 a2 =
1.
Solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2
a2n =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n
Dengan kondisi batas b0= 2 dan b1= 3
,maka:
- b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2) => 0 = -4
A1 + 2 A2
- b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3) => 1 = -6
A1 + 3A2
- -4 A1 + 2 A2 = 0 x
3 -12A1 + 6 A2 = 0
- -6 A1 + 3A2 =
1 x
2 -12A1 + 6 A2
= 2 +
6A2 = 2
A2 = 1/3
-4A1 + 2A2 = 0
-4A1 + 2(1/3) = 0; A1 = 1/6
Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6
dan A2 =1/3.
Jawab homogen dari relasi rekurensi
bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah
bn(h) = 1/6(-2)n + 1/3. (1)n
3. Mana diantara berikut yang
merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4 an-1 +
4 an-2 = 0
Jawaban : an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
Pembahasan :
Relasi rekurensi homogen
:
an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya
adalah a2 + 4 a +
4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Akar-akar
karakteristik a1 = a2 =
-2 , m = 2, Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka
solusi homogennya berbentuk:
an(h) = (A1 nm-1 +
A2 nm-2) a1n ,an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n
4. Tentukan solusi homogen dari :
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
Jawaban : 1(4)^n + 3(-2)^n
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
Jawaban : 1(4)^n + 3(-2)^n
Pembahasan :
Kita ubah dulu bn menjadi α
maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
Proses eliminasi:
4 = A1 + A2 | x2 | 8 = 2A1 + 2A2
-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2
—————- +
6 = 6A1
A1 = 1
A2 = 3 sehingga
an = A1a1^n + A2a2^n
= 1(4)^n + 3(-2)^n
4 = A1 + A2 | x2 | 8 = 2A1 + 2A2
-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2
—————- +
6 = 6A1
A1 = 1
A2 = 3 sehingga
an = A1a1^n + A2a2^n
= 1(4)^n + 3(-2)^n
5. 3an – 5an-1 + 2an-2 = n2+
5
Diketahui : a3 = 3 , a4 = 3
Tentukan : a5 = ?
Diketahui : a3 = 3 , a4 = 3
Tentukan : a5 = ?
Jawaban : 54
Pembahasan :
C0 = 3
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n2 + 5
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n2 + 5
6. Tentukan solusi dari relasi
rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !
Jawaban : an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
Jawaban : an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
Pembahasan :
Relasi rekurensi homogen : an +
6an-1 + 9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
7. Tentukan solusi homogen dari relasi
rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
Jawaban : bn(h) = (-3)n + .2n
Jawaban : bn(h) = (-3)n + .2n
Pembahasan :
Relasi rekurensi tersebut adalah
relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n
8. Tentukan relasi rekursif an
– 3an-2 – an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengan a0
= 1, a1 = 2 dan a2 = 4 !
Jawaban : an = 1(1)n
+ n1n + n2 1n
Pembahasan :
9. An = 3an-1 +
5an-2
Tentukan a2, jika a0
= 2 dan a1 = 1
Pembahasan :
10. Diketahui barisan relasi rekursi
a0 = 2, a1 = 4, a2 = 5 Tentukan nilai a3,
a4, dan a5!
Pembahasan :
- Next Tugas Pengantar Web Science #
- Previous Penasaran Apa Hobby Saya? Langsung aja kita kepoin, Berhubungan dengan Web Analist loh.
ABOUTME

Hi all. Thankz For coming. I'm trying the best for this blog and you’ve to comment. What can I say, we are the best..
0 comments:
Post a Comment